行列について③

今回は、前回の続きの行列の積の公式についてからはじめます。

前回はAB≠BAの説明をしました。それ以外にも法則があるので説明します。

(1)(A+B)²=A²+2AB+2BA+B²≠A²+2AB+B²

(2)(A+B)(A-B)=A(A-B)+B(A-B)=A²-AB+BA-B²≠A²-B²

(1)(2)より行列では、正式のときに使った乗法公式は成り立たないことが分かります。

ただし整式のときに使った乗法公式が成り立つ場合もあります。

(ⅰ)(AB)C=A(BC)

(ⅱ)A(B+C)=AB+AC

(ⅲ)(B+C)D=BD+CD

(ⅰ)は結合法則、(ⅱ)(ⅲ)は分配法則というものです。

先ほどの(ⅰ)～(ⅲ)の公式の証明をしてみます。
$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
$$B=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$
$$C=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$
$$D=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}とする。$$

(ⅰ)(AB)C=A(BC)

よって（左辺）＝（右辺）なので成り立つ。

（ⅱ）A（B+C）＝AB+AC

よって（左辺）＝（右辺）なので成り立つ。

（ⅲ）（B+C）D＝BD+CD

よって（左辺）＝（右辺）なので成り立つ。

今回はここまでにします。

次回はExcelを使った関数を紹介します。