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数列について④

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今日のお題:シグマを使った計算

今回はシグマに関して実際に計算をしてみます。

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シグマに関する計算

$$(1)\sum_{k=1}^{n} (2k+1)を求めなさい。$$

まず式を以下のように変形します。
$$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)=2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1となります。$$
$$ここで\sum_{k=1}^{n} kは公式により\color{red}{\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)}、$$
$$\sum_{k=1}^{n}1も公式により1×n=nとなります。$$
$$よって\sum_{k=1}^{n} (2k+1)=2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1=2\frac{1}{2}n(n+1)+n$$
$$=n(n+1)+n=n\{(n+1)+1\}=n(n+2)となります。$$
$$(2)3\sum_{k=1}^{n}k^2を求めなさい。$$
$$これも\sum_{k=1}^{n}k^2は公式により$$
$$\color{red}{\begin{eqnarray}
\sum_{ k = 1 }^{ n } k^2
= \overbrace{ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 }^{ n }
= \frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
\end{eqnarray}}となるので$$
$$3\sum_{ k = 1 }^{ n } k^2=\frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )$$
$$=\frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 ) (2n + 1)となります。$$
$$(3)\sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+2)を求めなさい。$$

まずΣについてそれぞれ整理すると
$$\sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+2)=\sum_{ k = 1 }^{ n } k^2-3\sum_{ k = 1 }^{ n } k+\sum_{ k = 1 }^{ n }2となります。$$

後は公式等を用いて計算して
$$\sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+2)=\sum_{ k = 1 }^{ n } k^2-3\sum_{ k = 1 }^{ n } k+\sum_{ k = 1 }^{ n }2$$
$$=\frac{ 1 }{ 6 } n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )-3\frac{ 1 }{ 2 } n ( n + 1 )+2n$$
$$=\frac{ 1 }{ 6 } n(2n^2-6n+4)=\frac{ 1 }{ 3 } n(n-1)(n-2)となります。$$

$$(4)\sum_{k=1}^{n-2}kを求めなさい。$$

これはまず項数がnでなくてn-2であることに注意します。

ただ、これは公式のnにn-2を代入すればいいだけです。

$$すなわち\sum_{k=1}^{n-2}k=\frac{ 1 }{ 2 }(n-2)\{(n-2)+1\}=\frac{ 1 }{ 2 }(n-2)(n-1)となります。$$

$$(5)\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}を求めなさい。$$

まず正体を調べる為に、和を書き出してみます。
$$\color{red}{\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}=2^0+2^1+2^2+…+2^{n-2}+2^{n-1}}$$

$$これは、初項2^0=1、公比2、項数nの等比数列の和であります。$$

$$このとき\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}を見てn-1個の項数と考えてはいけません。$$

$$項数はΣの上にあるnであります。つまりk=1からk=nまで足すことになります。$$

$$等比数列の和の公式\frac{ a(r^n-1) }{ r-1 }を用いて$$
$$\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}=\color{red}{\frac{ 1(2^n-1) }{ 2-1 }}=2^n-1となります。$$

基本的なシグマの計算についてみてきましたので今回はここまでにします。

次回は数列のエクセルを使った式について紹介します。

 

 

 

 

 

 







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