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数列について⑦

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今日のお題:漸化式とは何か。

今回は数列に関する漸化式について説明します。

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「漸化式」を説明する上での分かりやすい例

漸化式を理解する上で分かりやすい例をあげながら説明したいと思います。

例えば、毎月1000円のお小遣いをもらえるとします。

今、現在もっているお金の状態をAnとしてもらったお小遣いの合計Snを表していきます。

ちなみに来月は(n+1)、(n+2)ということになります。

$$現在:A_n(円)$$

$$来月:A_{n+1}=An+1000(円)$$

$$再来月:A_{n+2}=A_{n+1}+1000(円)$$

このように前に出した数字を利用して数値を出して行きます。

つまり、漸化式の大事なことは前の項に従うということです。

漸化式の解き方

それでは最も基本的なパターンを紹介します。

例題として
$$a_{n+1}=2a_n-4をといてみます。※a_1=10$$
$$まずa_{n+1}とa_nをαとおきます。$$
$$するとα=2α-4となりα=4ととけます。$$
$$そしたら何も考えずにa_nとa_{n+1}のそれぞれから4を引いて$$
$$a_n-4=a_{n-1}-4①とします。$$
$$最後に①のa_n-4の前に最初の漸化式a_nの係数2をつけます。$$
$$2(a_n-4)=(a_{n+1}-4)となります。$$
$$この式を展開するとa_{n+1}=2a_n-4と元の式に戻ります。$$

これで第一段階が終了しました。

$$ところで、今、考えている数列はa_1=10なので\{a_n\}=10、16、28、52だけど$$

仮に4を引いて6、10、22、46…でも数列には変わりありません。
$$(これを\{b_n\}とする)$$
$$元の数列からb_nを当てはめます。$$
$$b_n=(a_n-4)とします。$$
$$(a_{n+1}-4)=2(a_n-4)からb_{n+1}=2b_nとなります。$$
$$これをよくみるとb_n=は公比2の等差数列と分かります。$$
$$b_n=b_1×2^{n-1}と書けます。$$
$$b_1=a_1-4=6、b_n=6×2^{n-1}$$
$$これでb_nの一般項が出ました。$$
$$しかし、求めたいのはa_nの一般項であります。$$
$$ここでb_n=a_n-4とおいていたので$$
$$a_n=b_n+4となり$$
$$先ほどのb_n=6×2^{n-1}を代入して$$
$$a_n=6×2^{n-1}+4となります。$$

あっているか確認します。

$$a_1=6×2^0+4=10$$
$$a_2=6×2+4=16$$
$$a_3=6×4+4=28$$

と確かにあっていますね。

他にもいくつかのパターンがありますが1つだけにします。

次回は前回、行ったエクセルを使った式の続きから説明します。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







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